การแจกแจงทางทฤษฎีที่ใช้อนุมานสถิติ

การแจกแจงทางทฤษฎี (Theoretical distribution) ที่ใช้ในอนุมานสถิติบ่อยๆ มีอยู่ 4 ประเภทด้วยกันคือ

1. การแจกแจงแบบโค้งปกติ (Normal distribution)

2. การแจกแจงแบบไคว์สแควร์ (Chi-square distribution)

3. การแจกแจงแบบ F (F-distribution)

4. การแจกแจงแบบ t (t-distrubution)

1. การแจกแจงแบบโค้งปกติ (Normal distribution)

การแจกแจงแบบโค้งปกติ เป็นการแจกแจงของข้อมูลที่ได้จากตัวแปร ที่มีลักษณะต่อเนื่อง (Continuous variable) โดยมีคุณสมบัติของโค้งปกติ ดังนี้

1. พื้นที่หรือความน่าจะเป็น (Probability) ภายใต้โค้งปกติมีค่าเท่ากับ 1

2. ความสูงของโค้งที่สูงที่สุดอยู่ที่ค่า µ

3.โค้งมีลักษณะเป็นรูประฆังคว่ำ สมมาตร และมีค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมเท่ากัน

4. ลักษณะการกระจายภายใต้โค้งปกติมีลักษณะที่ว่าในช่วงบวกลบ 1 เท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยหรือจุดกลางของโค้ง (µ±1) มีพื้นที่ประมาณ 68% และ (µ±2) มีพื้นที่ประมาณ 95% และ (µ±3) มีพื้นที่ประมาณ 99%

คะแนนมาตรฐาน

ในการที่จะนำคะแนนแต่ละรายวิชาหรือต่างกลุ่มกันมาเปรียบเทียบกัน ไม่สามารถทำได้ ดังนั้นในการที่จะนำคะแนนมาเปรียบเทียบกันให้ได้ความหมายนั้น ทำได้โดยเปลี่ยนคะแนนดิบให้เป็นคะแนนมาตรฐาน ซึ่งคะแนนมาตรฐานแต่ละชนิดจะมีค่าเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคงที่

1. คะแนนมาตรฐาน Z (Z-Score) คือคะแนนมาตรฐานที่มีลักษณะการกระจายเหมือนกับการกระจายของคะแนนดิบ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหนึ่ง สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดังนี้

ลักษณะของคะแนนมาตรฐาน Z

1. เป็นคะแนนที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหนึ่ง

2. คะแนนมาตรฐานที่เป็นลบแสดงว่าคะแนนค่านั้นต่ำกว่าคะแนนเฉลี่ยและถ้าเป็นบวกแสดงว่าสูงกว่าค่าเฉลี่ย

3. การเปลี่ยนคะแนนดิบให้เป็นคะแนนมาตรฐาน ไม่จำกัดคะแนนเต็มของวิชาต่างๆ โดยปกติค่าคะแนนมาตรฐาน Z จะมีค่าอยู่ระหว่าง ±3

4. ลักษณะการกระจายเหมือนกับการกระจายของคะแนนดิบ

2. คะแนนมาตรฐาน T (T-Score) คือ คะแนนมาตรฐานที่ดัดแปลงมาจากคะแนน Z ซึ่งมีทั้งค่าบวกลบ ทำให้ลำบากในการตีความหมาย การเปลี่ยนคะแนน Z เป็นคะแนน T ใช้สูตรดังนี้

T = 50 + 10Z

ลักษณะของคะแนนมาตรฐาน T

1. มีลักษณะการกระจายเหมือนกับการกระจายของคะแนนดิบ

2. เป็นคะแนนมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ย 50 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10

2. การแจกแจงแบบไควสแควร์ (Chi-Square distrubution) มีลักษณะที่สำคัญดังนี้

1. ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบไคว์สแควร์ที่มี Degree of freedom “n” จะมีค่าเท่ากับ “n”

2. ถ้า n ≥ 2 ฐานนิยมของ มีค่าเท่ากับ n – 2

3. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ มีค่าเท่ากับ

4. การแจกแจงแบบไคว์สแควร์ส่วนใหญ่มีลักษณะเบ้ขวา

5. ถ้า “n” มีขนาดใหญ่ การแจกแจงแบบไคว์สแควร์จะมีลักษณะที่ใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบโค้งปกติที่มีค่าเฉลี่ย n และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

3. การแจกแจงแบบ F (F-distribution)

การแจกแจงแบบ F ที่มี Degree of freedom n₁ และ n₂ นั้น เป็นการแจกแจงของตัวแปร F ที่เกิดจากอัตราส่วนระหว่างตัวแปรไคว์สแควร์ 2 ตัว ที่เป็นอิสระต่อกันที่มี Degree of freedom n₁ และ n₂ ตามลำดับ

การแจกแจงแบบ F ที่มี Degree of freedom n₁ ของตัวเศษ และ n₂ ของตัวส่วน จะมีลักษณะดังนี้

1. เบ้ไปทางขวา

2. มีค่าฐานนิยมเพียงค่าเดียว

3. ค่ามัธยฐานมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1

4. ค่าเฉลี่ยมีค่าเท่ากับ n₂/(n₂-2) เมื่อ

4. การแจงแจงแบบ t (t-distribution)

การแจกแจงแบบ t ที่มี Degree of freedom  n เป็นการแจกแจงของตัวแปร t ที่เกิดจากอัตราส่วนระหว่างตัวแปร Z ที่มีการแจกแจงเป็นโค้งปกติกับตัวแปรไคว์สแควร์ ที่มีค่า Degree of freedom n

การแจกแจงแบบ t มีลักษณะดังนี้

1. โค้งมีลักษณะสมมาตร

2. มีฐานนิยมเพียงค่าเดียว

3. ค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน มีค่าเท่ากับศูนย์ แต่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานขึ้นอยู่กับขนาดของกลุ่มตัวอย่างหรือค่าของ Degree of freedom ยิ่งกลุ่มตัวอย่างหรือ Degree of freedom มีค่ามากเท่าใด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะยิ่งเข้าใกล้ 1 มากขึ้น หรือลักษณะการแจกแจงใกล้เคียงกับโค้งปกติมากขึ้น